Question

F₁，F(xiàn)₂為橢圓左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任意一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F₂向∠F₁AF₂的外角平分線作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是x²+y²=a²．類比可得：F₁，F(xiàn)₂為雙曲線左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線上任意一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F₂向∠F₁AF₂的    平分線作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：延長F₁D、AF₂交于點(diǎn)C，由等腰三角形的“三線合一”證出△F₁AF₂是以F₁C為底的等腰三角形，D為F₁C的中點(diǎn)．利用三角形中位線定理證出|OD|=|F₂C|，再由|AC|=|F₁A|和雙曲線的定義得到|F₂C|=|AC|-|F₂A|=|F₁A|-|F₂A|=2a，可得|OD|=a，從而得到點(diǎn)D的軌跡是以0為圓心半徑為a的圓，由此可得本題答案．
解答：解：當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線的右支時(shí)，如圖所示
延長F₁D、AF₂，交于點(diǎn)C
∵AD是△F₁AC的角平分線，也是高線
∴△F₁AF₂是以F₁C為底的等腰三角形
D為F₁C的中點(diǎn)，可得OD是△F₁CF₂的中位線
由此可得|OD|=|F₂C|
∵△F₁AF₂中，|AC|=|F₁A|
∴|F₂C|=|AC|-|F₂A|=|F₁A|-|F₂A|
由雙曲線的定義，得|F₁A|-|F₂A|=2a，可得|OD|=|F₂C|=a
同理可證：點(diǎn)A在雙曲線的左支時(shí)，也有|OD|=a
因此，點(diǎn)D到原點(diǎn)0的距離為常數(shù)a，得點(diǎn)D的軌跡是以0為圓心半徑為a的圓
即焦點(diǎn)F₂向∠F₁AF₂的內(nèi)角平分線作垂線，垂足D的軌跡方程為x²+y²=a²
故答案為：內(nèi)角   x²+y²=a²
點(diǎn)評(píng)：本題在已知橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡的情況下，推導(dǎo)關(guān)于雙曲線的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．著重考查了等腰三角形的判定、三角形中位線定理、雙曲線的定義和動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程等知識(shí)，屬于中檔題．