Question

求(

3	x

-

1

x

)15的展開式中的常數(shù)項和有理項．

Answer 1

分析：先求出展開式的通項公式，令x的冪指數(shù)等于零求出r的值，即可求得常數(shù)項．在展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，可得r為6的倍數(shù)，求出r的值，可得有理項．

解答：解：展開式的通項為：T_r+1=（-1）^r

C

r 15

（

3	x

）^15-r（

1

x

）^r=（-1）^r2^r

C

r 15

x

30-5r

6

，
設(shè)T_r+1項為常數(shù)項，則

30-5r

6

=0，解得r=6，即常數(shù)項為T₇ =2⁶

C

6 15

=5005．
所以展開式的第7項是常數(shù)項為5005．
由題意可得

30-5r

6

∈Z，即r是6的倍數(shù)，又因為0≤r≤15，所以r=0，6，12
故展開式中的有理項為T1=(-1)0•

C

0 15

•x5=x5，T₇=5005，T13=455x-5．

點(diǎn)評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項展開式的通項，在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具．屬于中檔題．