Question

9．某校舉行乒乓球友誼賽高三一班的三個(gè)同學(xué)分別與二班的三個(gè)同學(xué)對(duì)陣，已知每一場(chǎng)比賽一班同學(xué)勝二班同學(xué)的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求兩個(gè)班級(jí)的同學(xué)都至少勝一場(chǎng)的概率；
（2）求一班獲勝場(chǎng)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“兩個(gè)班級(jí)的同學(xué)都至少勝一場(chǎng)”為事件A，其對(duì)立事件為：一班3場(chǎng)都勝或3場(chǎng)都輸了，利用P（A）=1-P$（\overline{A}）$即可得出．
（2）設(shè)一班獲勝場(chǎng)數(shù)為X，由題意可得：X=0，1，2，3．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)“兩個(gè)班級(jí)的同學(xué)都至少勝一場(chǎng)”為事件A，
則P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-（$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$）=$\frac{13}{16}$．
（2）設(shè)一班獲勝場(chǎng)數(shù)為X，由題意可得：X=0，1，2，3．
P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{3}{32}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$+$（1-\frac{3}{4}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{4}）$+$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$1-（\frac{3}{32}+\frac{13}{32}+\frac{3}{32}）$=$\frac{13}{32}$．
其分布列為：x的分布列為

x	0	1	2	3
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{3}{32}$

E（X）=$0×\frac{3}{32}$+1×$\frac{13}{32}$+$2×\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{32}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立、對(duì)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．