Question

正四面體A-BCD的棱長為1，（Ⅰ）如圖（1）M為CD中點(diǎn)，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開，作為正四棱錐的側(cè)面如圖（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若將圖（1）與圖（2）面ACD重合，問該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求異面直線AM與BC所成的角，得先作出其平面角來，由圖取BD中點(diǎn)N．連AN、MN，可證得∠AMN就是異面直線AM與BC所成的角，在三角形中求解；
（Ⅱ）先作二面角M-AB-E的平面角，取BE中點(diǎn)P．連AP、PM，作MQ⊥AP于Q．過Q作QH⊥AB于H．連MH可證得∠MHQ為二面角M-AB-E的平面角，在所組成的三角形中求角；
（Ⅲ）根據(jù)題設(shè)中的要求，及圖形得出是五面體，再由體積公式求得出體積即可．

解答：解：（Ⅰ）取BD中點(diǎn)N．連AN、MN．
∵M(jìn)N∥BC
∴∠AMN就是異面直線AM與BC所成的角，在△AMN中，
AM=AN=

3

2

，MN=

1

2

∴∠AMN=arccos

3

6

（4分）
（Ⅱ）取BE中點(diǎn)P．連AP、PM，作MQ⊥AP于Q．過Q作QH⊥AB于H．連MH．
∵EB⊥AP，EB⊥PM
∴EB⊥面APM即EB⊥MQ，
∴MQ⊥面AEB
∴HQ為MH在面AEB上的射影．，即MH⊥AB
∴∠MHQ為二面角M-AB-E的平面角，
在△AMP中，AM=AP=

3

2

，PM=1，MQ=

6

3

，PQ=

3

3

在△ABP中，AQ=AP-PQ=

3

2

-

3

3

，AQ=

6

3

，HQ=

3

12

∴∠MHQ=arctan4

2．

∴二面角M-AB-E的大小，為arctan4

2．

（8分）
（Ⅲ）若將圖（1）與圖（2）面ACD重合，該幾何體是7面體  （9分）
體積=3V_A-BCD=3×

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

4

（12分）

點(diǎn)評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，解題的關(guān)鍵是有較好的空間立體感知能力，對所給的幾何體對應(yīng)的實(shí)物圖能想像出來，本題知識性較強(qiáng)，要掌握好異面直線所成的角，二面角的作法，以及多面體的體積求法