定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(
x
5
)=
1
2
f(x)，且當(dāng) 0≤x1＜x2≤1時，f(x1)≤f(x2)．則f(
1
2013
)等于（　　）
分析：能靈活運用題目中的條件f（x）+f（1-x）=1，f（
x
5
）=
1
2
f（x）解決問題．理解當(dāng)0≤x1＜x2≤1時，有f（x1）≤f（x2）的含義并能對抽象函數(shù)的解題思路了如指掌．
解答：解：由f（x）+f（1-x）=1，f（0）=0得：f（1）=1，
令x=
1
2
得：f（
1
2
）+f（1-
1
2
）=1，解得f（
1
2
）=
1
2
，
由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得：f（
1
5
）=
1
2
f（1）=
1
2
，
∵當(dāng)0≤x1＜x2≤1時，有f（x1）≤f（x2），
∴當(dāng)
1
5
≤x≤
1
2
時，f（x）=
1
2
；
當(dāng)
1
2
≤x≤
4
5
時，
1
5
≤1-x≤
1
2
，∴f（1-x）=
1
2
，∴f（x）=1-f（1-x）=
1
2
，
又由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得：f（
1
2013
）=
1
2
f(
5
2103
)=
1
4
f(
25
2013
)=
1
8
f(
125
2013
)=
1
16
f(
625
2013
)，
∵
1
5
＜
625
2013
＜
1
2
，∴f（
625
2013
）=
1
2
，
∴f（
1
2013
）=
1
16
×
1
2
=
1
32
，
故選C
點評：此題考查了抽象函數(shù)與單調(diào)性問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了特值的思想、函數(shù)的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③當(dāng)x∈[0，
1
3
]時，f(x)≥
3
2
x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•上海模擬）對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．
①對任意的x∈[0，1]，總f（x）≥0；
②當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2成立．
已知函數(shù)g（x）=x2與h（x）=a&•2x-1是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程g（2x-1）+h（x）=m（m∈R）解的個數(shù)情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•南京模擬）函數(shù)f （x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，滿足f （x）=2f （
x
2
），且f （1）=1，在每一個區(qū)間（
1
2k
，
1
2k-1
]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的圖象都是斜率為同一常數(shù)m的直線的一部分，記直線x=
5
3×2n
，x=
1
2n-1
，x軸及函數(shù)y=f （x）的圖象圍成的梯形面積為an（n=1，2，3，…），則數(shù)列{an}的通項公式為
12-m
9×22n+1
12-m
9×22n+1
．（用最簡形式表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函數(shù)g（x）=x2與h（x）=a•2x-1是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有兩解？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）同時滿足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．則稱函數(shù)f（x）為“夢函數(shù)”．
（1）試驗證f（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“夢函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）為“夢函數(shù)”，求f（x）的最值．

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