Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，g（x）=lnx，記F（x）=f（x）-g（x），求F（x）在[1，2]的最大值．

Answer 1

分析 先求出F（x）的表達(dá)式，求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a是范圍，確定函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而求出F（x）在[1，2]上的最大值即可．

解答 解：F（x）=f（x）-g（x）=x²+ax+b-lnx，
F′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+ax-1}{x}$，x∈[1，2]，
令h（x）=2x²+ax-1，對稱軸x=-$\frac{a}{4}$，
而h（1）=1+a，h（2）=7+2a，
①當(dāng)a≥-1時：x=-$\frac{a}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
h（x）在[1，2]遞增，h（1）≥0，
∴F′（x）≥0在x∈[1，2]恒成立，
∴F（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
F（x）_max=F（2）=7+2a，
②當(dāng)-$\frac{7}{2}$≤a＜-1時，對稱軸x=-$\frac{a}{4}$在區(qū)間[1，2]上，
此時，h（1）＜0，h（2）＞0，
F（x）在[1，2]先減后增，
∴F（x）_max=F（1）或F（2），
③a＜-$\frac{7}{2}$時：h（1）＜0，h（2）＜0，
即F′（x）＜0在[1，2]恒成立，
∴F（x）在[1，2]遞減，
F（x）_max=F（1）=1+a．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論，是一道中檔題．