Question

過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．則=    ；若該拋物線上有兩點(diǎn)M、N，滿足OM⊥ON，則直線MN必過定點(diǎn)    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線方程可求焦點(diǎn)F，設(shè)出直線AB的方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A兩點(diǎn)坐標(biāo)，由韋達(dá)定理可以求得答案．
（2）設(shè)MN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可得M，N的坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)MO⊥NO推斷出，即可
解答：解：∵拋物線焦點(diǎn)F（0，）
設(shè)過焦點(diǎn)F的直線AB的方程為y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1，==
∵=x₁x₂+y₁y₂=
設(shè)直線MN的方程為y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
聯(lián)立方程可得x²-2mx-2n=0
則c+c=2m，ac=-2n，bd==n²
∵OM⊥ON
∴=ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直線MN的方程為y=mx+2，從而可得直線MN過定點(diǎn)（0，2）
故答案為：；（0，2）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，涉及到直線與圓錐線的問題一般是聯(lián)立方程，設(shè)而不求，屬于中檔題．