Question

已知函數(shù)f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

（a≥0）．
（1）當(dāng)a=

1

2

，求f（x）的極值．
（2）當(dāng)a≥1時，設(shè)g（x）=2e^x-4x+2a，若存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；
（2）存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），轉(zhuǎn)化為在[

1

2

，2]上f（x）的最大值大于g（x）的最小值，進而轉(zhuǎn)化為求f（x）、g（x）在[

1

2

，2]上的最大值、最小值問題．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
當(dāng)a=

1

2

，f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

=4lnx-

x

2

+

7

2x

，
∴f′（x）=

4

x

-

1

2

-

7

2x2

=-

(x-1)(x-7)

2x

令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得1＜x＜7，令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴可得0＜x＜1或x＞7
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（7，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（1，7）
∴x=1時，函數(shù)取得極小值為3；x=7時，函數(shù)確定極大值為4ln7-3；
（2）f′（x）=

-ax2+4x-(a+3)

x2

，（x＞0），令h（x）=-ax²+4x-（a+3），
若a≥1，則△=4²-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4）≤0，
∴h（x）≤0，
∴f′（x）=

-ax2+4x-(a+3)

x2

≤0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)a≥1時，f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f（

1

2

）=-4ln2+

3

2

a+6，
g′（x）=2e^x-4，令g′（x）=0，得x=ln2．
當(dāng)x∈[

1

2

，ln2）時，g′（x）＜0，∴g（x）單調(diào)遞減，x∈（ln2，2]時，g′（x）＞0，∴g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）在[

1

2

，2]上的最小值為g（ln2）=4-4ln2+2a，
由題意可知-4ln2+

3

2

a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，
又a≥1，∴實數(shù)a的取值范圍為[1，4）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值，考查存在性問題，屬于中檔題．