Question

設(shè)直線y=t與函數(shù)f（x）=x 

1

2

，g（x）=e^x的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為（　�。�

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，求出f（x）的反函數(shù)f^-1（x），g（x）的反函數(shù)g^-1（x）；
構(gòu)造函數(shù)h（x）=f^-1（x）-g^-1（x），利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）取得最小值，即|MN|達(dá)到最小值時(shí)x（即t）的值．

解答： 解：根據(jù)題意，∵f（x）=x

1

2

，∴f^-1（x）=x²（x≥0）；
∵g（x）=e^x，∴g^-1（x）=lnx（x≥0）；
設(shè)h（x）=f^-1（x）-g^-1（x）=x²-lnx（x≥0），
∴h′（x）=2x-

1

x

=

2x2-1

x

；
令h′（x）=0，解得x=

2

2

；
∴x＞

2

2

時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，0＜x＜

2

2

時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
∴x=

2

2

時(shí)，h（x）取得最小值，即|MN|達(dá)到最小值，此時(shí)t=

2

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)最值的問題，通常利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，是中檔題．