若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(常數(shù)a、b∈R)是偶函數(shù),且它的值域為(-∞,4],求該函數(shù)的解析式.
分析:由f(x)=(x+a)(bx+2a)是偶函數(shù),知f(-x)=(-x+a)(-bx+2a)=f(x)=(x+a)(bx+2a),故2ax+abx=0,a=0或2+b=0.由此能求出f(x)的解析式.
解答:解:∵f(x)=(x+a)(bx+2a)是偶函數(shù),
∴f(-x)=(-x+a)(-bx+2a)=f(x)=(x+a)(bx+2a),
∴bx2-2ax-abx+2a2=bx2+2ax+abx+2a2,
∴2ax+abx=0,即ax(2+b)=0恒成立,
∴a=0或2+b=0.
若a=0,則f(x)=bx2,若b>0,值域是y≥0,b<0,值域是y≤0,都不是(-∞,4],
所以a≠0,故b+2=0,
∴b=-2,
所以f(x)=-2x2+2a2,
∵-2x2≤0,
所以值域是f(x)≤2a2
∴2a2=4,
即f(x)=-2x2+4.
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù) fx)=a x (a>0,a≠1 ) 的部分對應(yīng)值如表:

x

-2

0

fx

0.592

1

則不等  式f-1(│x│<0)的解集是        ()

A. {x│-1<x<1}                  B. {xx<-1或x>1}         

C. {x│0<x<1}                    D. {x│-1<x<0或0<x<1}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

若函數(shù)f(x)對于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-數(shù)學(xué)公式(x-a)|≤T(T為常數(shù))成立,則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上具有“T級線性逼近”.下列函數(shù)中:
①f(x)=2x+1;
②f(x)=x2
③f(x)=數(shù)學(xué)公式;
④f(x)=x3
則在區(qū)間[1,2]上具有“數(shù)學(xué)公式級線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年福建省寧德市高三質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

若函數(shù)f(x)對于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-(x-a)|≤T(T為常數(shù))成立,則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上具有“T級線性逼近”.下列函數(shù)中:
①f(x)=2x+1;
②f(x)=x2;
③f(x)=;
④f(x)=x3
則在區(qū)間[1,2]上具有“級線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4

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