Question

19．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是（　�。�
①三棱錐P-AA₁Q的體積為定值；
②當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)$\frac{3}{4}$＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形； 
④當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

• A． ①④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①通過(guò)計(jì)算點(diǎn)P到平面AA₁Q的距離，利用體積公式計(jì)算即可；
②通過(guò)條件可得PQ∥AD₁，從而得出結(jié)論；
③當(dāng)$\frac{3}{4}＜CQ＜1$時(shí)，S為五邊形，故③錯(cuò)誤；
④通過(guò)條件可知S為平行四邊形APC₁R，利用面積計(jì)算公式即得結(jié)論．

解答 解：①點(diǎn)P到平面AA₁Q的距離$h=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴${V_{P-A{A_1}Q}}=\frac{1}{3}•{S_{△A{A_1}Q}}•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\frac{1}{12}$，故①正確．
②當(dāng)$CQ=\frac{1}{2}$時(shí)，PQ∥AD₁，S為等腰梯形APQD₁，故②正確．
③當(dāng)$\frac{3}{4}＜CQ＜1$時(shí)，S為五邊形，故③錯(cuò)誤．
④設(shè)A₁D₁的中點(diǎn)為R，當(dāng)CQ=1時(shí)，S為平行四邊形APC₁R，
易得S的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，棱錐的體積公式，面積公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．