Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其圖象對(duì)應(yīng)的曲線設(shè)為G．（Ⅰ）設(shè)、、，為經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2）的曲線G的切線，求的方程；

       （Ⅱ）已知曲線G在點(diǎn)A、B處的切線的斜率分別為0、，求證：；

       （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)時(shí)，恒成立，求常數(shù)的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由題設(shè)，∴，由于點(diǎn)（2，2）不在曲線G上，

       可設(shè)切點(diǎn)為，所求切線方程為，由，消去得，∴，或，即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為（0，0），或，

       當(dāng)時(shí)，，，所求的切線方程為，…2分

       當(dāng)時(shí)，，，所求切線方程為；…4分

       （Ⅱ）由已知，依題意有

       ，，即，

       從而、、三數(shù)中至少有一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，∴總有，，

       若，由有，∴，∴，

       又，∴，故得，從而，矛盾，

       ∴必有，∴ ，∴可得；………8分

       （Ⅲ）即， 整理即得，設(shè)，則

       設(shè)為的函數(shù)，由條件（Ⅱ），欲不等式恒成立，即在時(shí)恒成立，∴，∴，解得，或，

       依題意，∴，即所求的的最小值為．

       本題綜合考查曲線的概念、一次函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的解法與證明，屬難題．