Question

18．已知關于x的不等式$\frac{{{a^2}-a+1}}{a-1}≥|2x-1|+|x+1|$對于a∈（1，+∞）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 根據基本不等式的性質得到3≥|2x-1|+|x+1|，通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：設a-1=t＞0，
則$\frac{{{a^2}-a+1}}{a-1}=\frac{{{t^2}+t+1}}{t}=t+\frac{1}{t}+1≥3$，
當且僅當t=1時取等號．
所以3≥|2x-1|+|x+1|，
（1）當$x≥\frac{1}{2}$時，有3≥3x，得$1≥x≥\frac{1}{2}$；
（2）當$-1＜x＜\frac{1}{2}$時，有3≥-x+2，得$-1＜x＜\frac{1}{2}$；
（3）當x≤-1時，有3≥-3x，得x=-1．
綜上實數x的取值范圍為[-1，1]．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查絕對值不等式的解法，是一道基礎題．