Question

已知函數(shù)f（x）=e^2x-1-2x．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)b∈R，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，b+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）分類討論，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，b+1]上的最小值．

解答：解：（I）因?yàn)閒′（x）=2e^2x-1-2．（2分）
令f′（x）=0，解得x=

1

2

．（3分）
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	(-∞，   1 2 )	1 2	( 1 2 ，  +∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）		極小值

（5分）
所以函數(shù)f（x）在（-∞，  

1

2

）上單調(diào)遞減，在(

1

2

，  +∞)上單調(diào)遞增．（6分）
（II）當(dāng)b+1≤

1

2

時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（b，b+1）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=b+1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值f（b+1）=e^2b+1-2b-2．（8分）
當(dāng)b＜

1

2

＜b+1時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在(b，  

1

2

)上單調(diào)遞減，在(

1

2

，  b+1)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值f(

1

2

)=0．（10分）
當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（b，b+1）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=b時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值f（b）=e^2b-1-2b．（12分）
綜上，當(dāng)b≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[b，b+1]上的最小值為f（b+1）=e^2b+1-2b-2；
當(dāng)-

1

2

＜b＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[b，b+1]上的最小值為f(

1

2

)=0；
當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[b，b+1]上的最小值為f（b）=e^2b-1-2b．（13分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．