Question

（2013•福建）當(dāng)x∈R，|x|＜1時(shí)，有如下表達(dá)式：1+x+x2+…+xn+…=

1

1-x

兩邊同時(shí)積分得：

∫

1 2 0

1dx+

∫

1 2 0

xdx+

∫

1 2 0

x2dx+…

∫

1 2 0

xndx+…=

∫

1 2 0

1

1-x

dx
從而得到如下等式：1×

1

2

+

1

2

×(

1

2

)2+

1

3

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

×(

1

2

)n+1+…=ln2．
請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：

C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×(

1

2

)2+

1

3

C

2 n

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

C

n n

×(

1

2

)n+1=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]

．

Answer 1

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，兩邊同時(shí)積分整理后，整理即可得到結(jié)論．

解答：解：二項(xiàng)式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
對(duì)C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ
兩邊同時(shí)積分得：

∫

1 2 0

1

C

0 n

dx+

∫

1 2 0

C

1 n

xdx+

∫

1 2 0

C

2 n

x2dx+…+

∫

1 2 0

C

n n

xndx=

∫

1 2 0

(1+x)ndx
從而得到如下等式：

C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×(

1

2

)2+

1

3

C

2 n

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

C

n n

×(

1

2

)n+1=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]
故答案為：

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．是道好題，解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，兩邊同時(shí)積分，要是想不到這一點(diǎn)，就變成難題了．