Question

20．已知函數(shù)f（x）是定義R在上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=2^x-3，則不等式f（x）≤-5的解集為（-∞，-3]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質求出當x＜0的解析式，討論x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．

解答 解：若x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=2^x-3，
∴當-x＞0時，f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x-3=-f（x），
則f（x）=-2^-x+3，x＜0，
當x＞0時，不等式f（x）≤-5等價為2^x-3≤-5即2^x≤-2，無解，不成立；
當x＜0時，不等式f（x）≤-5等價為-2^-x+3≤-5即2^-x≥8，
得-x≥3，即x≤-3；
當x=0時，f（0）=0，不等式f（x）≤-5不成立，
綜上，不等式的解為x≤-3．
故不等式的解集為（-∞，-3]．
故答案為：（-∞，-3]．

點評 本題主要考查不等式的解集的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．