Question

（1）若（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n；
（2）若（ax+1）⁷（a≠0）的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)是x²的系數(shù)與x⁴的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求a；
（3）已知（2x+x^lgx）⁸的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求x．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出x³的系數(shù)和x的系數(shù)，列出方程求出n
（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出x³的系數(shù)，x²的系數(shù)與x⁴的系數(shù)，列出方程求出a
（3）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，列出方程求出x

解答：解：（1）

C

3 n

=7

C

1 n

，

n(n-1)(n-2)

6

=7n，n2-3n-40=0，由n∈N*，得n=8．
（2）C₇⁵a²+C₇³a⁴=2C₇⁴a³，21a²+35a⁴=70a³，a≠0，
得5a2-10a+3=0?a=1±

10

5

．
（3）展開(kāi)式共有9項(xiàng)，據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C₈⁴（2x）⁴（x^lgx）⁴=1120，x^4（1+lgx）=1，lg²x+lgx=0，
得lgx=0，或lgx=-1，
所以x=1，或x=

1

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．