Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足，設(shè)．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}中最大項(xiàng)；
（3）求證：對于給定的實(shí)數(shù)λ，一定存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，不等式λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用遞推關(guān)系，再寫一式，兩式相減，可得，利用，即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{a_n•b_n}的通項(xiàng)，從而可得數(shù)列的單調(diào)性，即可求最大項(xiàng)；
（3）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，確定相應(yīng)的值域，即可證得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵，
∴n≥2時(shí)，
兩式相減可得
∴
∴
∵
∴b_n-b_n-1=4
∵n=1時(shí)，，∴
∴=-1
∴數(shù)列{b_n}是以-1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列
∴，
（2）解：a_n•b_n=
令f（n）=，則=
令＜1，則16n²-72n+49＞0
∴n＞5時(shí)，＜1，n＜5時(shí)，＞1
∴數(shù)列從第一項(xiàng)到第四項(xiàng)，單調(diào)遞增，從第五項(xiàng)開始，單調(diào)遞減
所以最大項(xiàng)是第四項(xiàng)；
（3）證明：∵
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=++…+
∴S_n=+…++
兩式相減可得S_n=++…+-
∴S_n=3-
∴S₁=
∴S_n的值域[，3），
∵b_n=4n-5，∴b_n的值域[-1，+∞），
∴對于給定的實(shí)數(shù)λ，一定存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，不等式λS_n＜b_n恒成立．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，能力要求強(qiáng)，有難度．