Question

4．已知拋物線M：y²=2px（p＞0），其焦點F到直線l：x-y-2t=0的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（1）若t=1，求拋物線M的方程；
（2）已知t＜0，直線l與拋物線M相交于A，B兩點，直線PQ與拋物線M相交于P，Q兩點，且滿足$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=32，若A，P，B，Q四點在同一個圓Γ上，求圓Γ上的動點到焦點F最小距離．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點，由點到直線的距離公式，解方程可得p=10，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）由向量垂直和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，可得PQ垂直平分AB，由向量的數(shù)量積的幾何意義可得AB=8，聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得t，p的關(guān)系式，再由點到直線的距離公式，可得t，p的方程，解得p=4，t=-$\frac{1}{2}$．求得AB的中點，以及直線PQ的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得PQ的長即為圓的直徑，求得中點N，即為圓心，可得F在圓內(nèi)，由$\frac{1}{2}$|PQ|-|FN|，可得最小距離．

解答 解：（1）拋物線M：y²=2px（p＞0）的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
直線l：x-y-2=0，則$\frac{|\frac{p}{2}-0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得p=10（負(fù)的舍去），
則拋物線M的方程為y²=20x；
（2）由$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=32，
可得$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{AB}$，（$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AP}$）•$\overrightarrow{BA}$=（$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{AP}$）=0，
即有|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{AP}$|．
即PQ垂直平分AB，
由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=32，即|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠PAB=32，
即為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=32，解得|AB|=8，
將y=x-2t代入拋物線方程y²=2px，可得
x²-（4t+2p）x+4t²=0，
x₁+x₂=4t+2p，x₁x₂=4t²，
由弦長公式|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（4t+2p）^{2}-16{t}^{2}}$=8，①
又焦點F到直線l：x-y-2t=0的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則$\frac{|\frac{p}{2}-0-2t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，②
解得p=4，t=-$\frac{1}{2}$．
則AB的中點坐標(biāo)為（3，4），
即有PQ的方程為y=-x+7．
代入拋物線y²=8x，可得x²-22x+49=0，
x₃+x₄=22，x₃x₄=49，
PQ的中點坐標(biāo)為N（11，-4），
由弦長公式可得|PQ|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2{2}^{2}-4×49}$=24，
則圓Γ的半徑為12，圓的方程為（x-11）²+（y+4）²=144，
焦點F（2，0），|FN|=$\sqrt{97}$＜12，
則F在圓內(nèi)，
圓Γ上的動點到焦點F最小距離為12-$\sqrt{97}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，同時考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，屬于難題．