Question

如圖，拋物線y=

x

上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形OP₁Q₁，O₁P₂Q₂，…Q_n-1P_nQ_n，…其中點(diǎn)P_n在拋物線上，點(diǎn)Q_n的坐為（x_n，0），猜測(cè)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出P₂（

4

3

，

2 3

3

），P₃（3，

3

），|Q₁Q₂|=

4

3

，|Q₂Q₃|=

6

3

，可猜測(cè)|Q_n-1Q_n|=

2n

3

，即x_n-x_n-1=

2n

3

，利用疊加法，可得結(jié)論．

解答： 解：OP₁的方程為y=

3

x，代入拋物線y=

x

可得P₁（

1

3

，

3

3

），|OQ₁|=

2

3

．
同理可得P₂（

4

3

，

2 3

3

），P₃（3，

3

），|Q₁Q₂|=

4

3

，|Q₂Q₃|=

6

3

，
可猜測(cè)|Q_n-1Q_n|=

2n

3

，
∴x_n-x_n-1=

2n

3

，
∴x_n-x₁=

4

3

+

6

3

+…+

2n

3

，
∴x_n=

2

3

（1+2+…+n）=

n(n+1)

3

．
故答案為：x_n=

n(n+1)

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是拋物線與數(shù)列的綜合，根據(jù)點(diǎn)在拋物線圖象上，以及點(diǎn)之間的關(guān)系，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，即數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求通項(xiàng)公式，屬于綜合題．