Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在區(qū)間[m，n]（m＞1）使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，代入解析式求出f′（x），令f′（x）=0求出臨界點(diǎn)，列表討論f（x）的增區(qū)間和減區(qū)間，以及函數(shù)的極值問題，代入解析式求解；
（Ⅱ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），將條件轉(zhuǎn)化為：f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax²+（a-1）x-a，再對(duì)a分三類結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論：g（x）≤0在[0，1]上恒成立，利用g（x）圖象上的特殊點(diǎn)（0，-a）進(jìn)行判斷，再把符合條件的a的范圍并在一起；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x²-1）e^x，假設(shè)當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）存在[m，n]（n＞m＞1）滿足條件，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為“（x-1）²e^x-x=0有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根”，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（x-1）²e^x-x（x≥1），求出他的導(dǎo)數(shù)后，再二次求導(dǎo)判斷h（x）的單調(diào)性，根據(jù)特殊函數(shù)值，判斷出h（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程（x-1）²e^x-x=0有且只有一個(gè)大于1的根，與假設(shè)矛盾，故可得證．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x²-2x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x
=（x²-1）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表討論如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的極大值是f（-1）=

4

e

；極小值是f（1）=0．

（Ⅱ）由題意得，f′（x）=（2ax-a-1）e^x+[ax²-（a+1）x+1）e^x
=[ax²+（a-1）x-a]e^x，

由f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減得，f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
即ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上恒成立，

令g（x）=ax²+（a-1）x-a，x∈[0，1]，

①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x≤0在[0，1]上恒成立；

②當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=ax²+（a-1）x-a過點(diǎn)（0，-a），

即g（0）=-a＜0，只需g（1）=a+a-1-a=a-1≤0，就滿足條件；

解得a≤1，則此時(shí)0＜a≤1，

③當(dāng)a＜0時(shí)，同理有g(shù)（0）=-a＞0，

∴ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上不可能恒成立，

綜上得，所求的a的取值范圍是[0，1]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x²-1）e^x，
假設(shè)當(dāng)x＞1時(shí)存在[m，n]使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，且（n＞m＞1）
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）=（x²-1）e^x＞0，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，

∴

f(m)=m f(n)=n

，即

(m-1)2•em=m (n-1)2•en=n

，
則問題轉(zhuǎn)化為（x-1）²e^x-x=0有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根． 
設(shè)函數(shù)h（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），h′（x）=（x²-1）e^x-1，
令φ（x）=（x²-1）e^x-1，∴φ′（x）=（x²+2x-1）e^x，
當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，即h′（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
∴h′（1）=-1＜0，h′（2）=3e²-1＞0
∴存在唯一x₀∈（1，2），使得h′（x₀）=0，
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x₀）＜h（1）=-1＜0
∵h(yuǎn)（2）=e²-2＞0
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
即方程（x-1）²e^x-x=0有且只有一個(gè)大于1的根，與假設(shè)矛盾，
故當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）不存在[m，n]使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及判斷函數(shù)的單調(diào)性、求最值等，當(dāng)導(dǎo)數(shù)中含有參數(shù)時(shí)需要分類討論，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．