Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）求證：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）是否存在不為0的實數(shù)k和t，使$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$？如果存在，試確定k與t的關(guān)系，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量的數(shù)量積證明即可．
（2）化簡$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$然后通過向量的數(shù)量積是否為0，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}-1×\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（2）$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$=（$-\sqrt{3}k+\frac{1}{2}t$，-k$+\frac{\sqrt{3}}{2}t$），
如果$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，則$（\sqrt{3}+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}）（-\sqrt{3}k+\frac{1}{2}t）$+（-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$）（-k$+\frac{\sqrt{3}}{2}t$）=0．
可得t³-3t-$\sqrt{3}{kt}^{2}$+（3$\sqrt{3}$-2）k=0．

點評 本題考查向量的數(shù)量積判斷向量的垂直關(guān)系，基本知識的考查．