【題目】已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(2)若直線交軸負(fù)半軸于,交軸正半軸于,求的面積的最小值并求此時直線的方程;
(3)已知點,若點到直線的距離為,求的最大值并求此時直線的方程.
【答案】(1)[0,+∞);(2)S的最小值為4,此時的直線方程為x2y+4=0;(3)d的最大值為5,此時直線方程為3x+4y+2=0。
【解析】
(1)把已知方程變形,利用線性方程求出直線所過定點即可;化直線方程為斜截式,由斜率大于等于0且在y軸上的截距大于等于0聯(lián)立不等式組求解;
(2)由題意畫出圖形,求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距,代入三角形面積公式,利用基本不等式求最值;
(3)當(dāng)PM⊥l時,d取得最大值,由兩點的距離公式可得最大值,求得PM的斜率,可得直線l的斜率,由點斜式方程可得所求直線l的方程.
(1)由kxy+1+2k=0,得k(x+2)+(y+1)=0,
聯(lián)立,解得,
則直線l:kxy+1+2k=0過定點M(2,1);
由kxy+1+2k=0,得y=kx+1+2k,
要使直線不經(jīng)過第四象限,則,解得k0。
∴k的取值范圍是[0,+∞)。
(2)如圖,
由題意可知,k>0,
在kxy+1+2k=0中,取y=0,得,取x=0,得y=1+2k,
∴
。
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立。
∴S的最小值為4,此時的直線方程為12xy+2=0,即x2y+4=0。
(3)點P(1,5),若點P到直線l的距離為d,
當(dāng)PM⊥l時,d取得最大值,且為,
由直線PM的斜率為,
可得直線直線l的斜率為,
則直線l的方程為,
即為3x+4y+2=0。
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,點在橢圓上,若圓的一條切線(斜率存在)與橢圓C有兩個交點A,B,且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)已知橢圓C的上頂點為M,點N在圓O上,直線MN與橢圓C相交于另一點Q,且,求直線MN的方程.
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【題目】根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量(百千克)與某種液體肥料每畝使用量(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);
(2)求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少?
附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù):,.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,
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【題目】已知橢圓()的離心率為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線與橢圓交于不同的兩點,,試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程為,過點的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于、兩點,求的值,并求定點到,兩點的距離之積.
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【題目】圖(1)為東方體育中心,其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖(2)所示;曲線是以點為圓心的圓的一部分,其中,曲線是拋物線的一部分;且恰好等于圓的半徑,與圓相切且.
(1)若要求米,米,求與的值;
(2)當(dāng)時,若要求不超過45米,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是( )
①函數(shù)的值域與的值域相同;
②若是函數(shù)的極值點,則是函數(shù)的零點;
③把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,就可以得到的圖像;
④函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).
A.0B.1C.2D.3
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的右焦點為,直線為.
(1)求到點和直線的距離相等的點的軌跡方程;
(2)過點作直線交橢圓于點,,又直線交于點,若,求線段的長;
(3)已知點的坐標(biāo)為,,直線交直線于點,且和橢圓的一個交點為點,是否存在實數(shù),使得?若存在,求出實數(shù),若不存在,說明理由.
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【題目】已知數(shù)列和,記.
(1)若,求;
(2)若,求關(guān)于m的表達式;
(3)若數(shù)列和均是項數(shù)為項的有窮數(shù)列.,現(xiàn)將和中的項一一取出,并按照從小到大的順序排成一列,得到.求證:對于給定的,的所有可能取值的奇偶性相同.
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