Question

已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間．
（3）設(shè)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：

Answer 1

（1）
（2）是增區(qū)間；是減區(qū)間
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合極值的符號(hào)來(lái)得到比較大小。

試題分析：解：①根據(jù)題意，由于函數(shù).則可知函數(shù)，那么曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，那么根據(jù)點(diǎn)斜式方程可知
②結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到，那么當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，得到x的范圍是是增區(qū)間；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，得到的x的范圍是是減區(qū)間
③設(shè)切點(diǎn)為，
易知，所以，
可化為 ①
于是，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程①有三個(gè)相異實(shí)數(shù)根，記，
則，易知的極大值為，極小值為
綜上，如果過(guò)可作曲線三條切線，則
即：
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。