Question

1．已知{a_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，S_n為前n項(xiàng)和，滿足$\frac{2}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$，a₃•S₃=$\frac{7}{64}$．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，求所有的正整數(shù)k，使得對(duì)任意的n∈N^*，不等式S_n+k+$\frac{{T}_{n}}{4}$＜1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，建立方程關(guān)系即可求a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，和數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，a₁＞0，公比為q，（q＞0），
則由條件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}•\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{64}}\\{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}+\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}=\frac{1}{{a}_{1}{q}^{4}}}\end{array}\right.$，--------------（4分）
解得a₁=q=$\frac{1}{2}$，則a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$--------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
 又T_n=$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n+1）}{2}}$--------------（10分）
若存在正整數(shù)k，使得不等式S_n+k+$\frac{{T}_{n}}{4}$＜1恒對(duì)任意的n∈N*都成立，
則1-$\frac{1}{{2}^{n+k}}$+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}+2}$＜1，
即k＜$\frac{n（n-1）}{2}$+2，正整數(shù)k只有取k=1--------（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和是解決本題的關(guān)鍵．