已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且短軸長為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若與兩坐標軸都不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，且
OA
•
OB
=
2
3
，S△AOB=
2
3
，求直線l的方程．
分析：（1）短軸的長求得b，進而根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，則a和b的關(guān)系可求得，最后根據(jù)b求得a，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，及A，B的坐標，把直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x1+x2和x1x2，進而根據(jù)
OA
•
OB
=
2
3
求得m和k的關(guān)系式，同時根據(jù)三角形的面積求得k和m的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立求得m和k，則l的方程可得．
解答：解：（1）短軸長2b=2，b=1，e=
c
a
=
2
2

又a2=b2+c2，所以a=
2
，c=1，所以橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）
y=kx+m
x2+2y2=2
，
消去y得，（1+2k2）x2+4mkx+2m2-2=0
x1+x2=
-4mk
1+2k2
x1•x2=
2m2-2
1+2k2
，
OA
•
OB
=x1x 2+y1y 2=
2
3

即
3m2-2k2-2
1+2k2
=
2
3
即9m2=10k2+8S△AOB=
1
2
|m||x1-x2|=
1
2
m2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
1
2
8m2(1+2k2-m2)
(1+2k2)2
=
2
3

即9m2（1+2k2-m2）=（1+2k2）2
9m2(1+2k2-m2)=(1+2k2)2
9m2=10k2+8
，
解得k2=1，m2=2，所以y=±x±
2
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和基本運算的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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