Question

已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓C過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE,AF與直線分別交于不同的兩點(diǎn)M,N，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，于是可設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程,并用待定系數(shù)法求出的值進(jìn)而確定橢圓的方程.

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去并結(jié)合韋達(dá)定理得到，據(jù)此可將化成關(guān)于的函數(shù)而求解.

注意對(duì)直線的斜率不存在及斜率為零的情況，要單獨(dú)說(shuō)明.

【解析】
（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為： 1分

設(shè)橢圓的方程為，則

依題意得，解得，.

所以橢圓的方程為. 3分

（2）顯然點(diǎn).

（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，

易得，，

所以. 5分

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為，,顯然 時(shí)，不符合題意.

由得. 6分

則. 7分

直線，的方程分別為：，

令，則.

所以，. 9分

所以

. 11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719002234249935/SYS201411171900297333772695_DA/SYS201411171900297333772695_DA.044.png">，所以，所以，即.

綜上所述，的取值范圍是. 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與橢圓位置關(guān)系綜合問(wèn)題.