Question

已知f(x)=

1-x

+

x+3

（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）若函數F(x)=f(x)+

1

f(x)

，求函數F（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據偶次根式下大于等于0建立不等式組，解之即可求出定義域，將函數平方，利用二次函數的性質可求出該函數的值域；
（2）利用換元法，f（x）=t，t∈[2，2

2

]，則y=g(t)=t+

1

t

，然后利用導數證明該函數的單調性，可求出函數的最值．

解答：解：（1）由

1-x≥0 x+3≥0

得

x≤1 x≥-3

，…（2分）
故定義域為[-3，1]…（3分）
由y=f(x)=

1-x

+

x+3

得：
y2=4+2

-x2-2x+3

=4+2

-(x+1)2+4

∈[4，8]
從而y∈[2，2

2

]，…（7分）
故值域為[2，2

2

]…（8分）
（2）令f（x）=t，t∈[2，2

2

]
下證明：函數y=g(t)=t+

1

t

正區(qū)間[2，2

2

]上單調遞增
y'=1-

1

t2

當t∈[2，2

2

]時，y′＞0
∴函數y=g(t)=t+

1

t

正區(qū)間[2，2

2

]上單調遞增
從而F(x)min=g(2)=

5

2

…（14分）
F(x)max=g(2

2

)=

9 2

4

…（16分）

點評：本題主要考查了函數定義域和值域，以及利用導數研究函數的單調性求最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．