已知f(x)=
1-x
+
x+3

（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）若函數(shù)F(x)=f(x)+
1
f(x)
，求函數(shù)F（x）的最大值和最小值．
分析：（1）根據(jù)偶次根式下大于等于0建立不等式組，解之即可求出定義域，將函數(shù)平方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出該函數(shù)的值域；
（2）利用換元法，f（x）=t，t∈[2，2
2
]，則y=g(t)=t+
1
t
，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，可求出函數(shù)的最值．
解答：解：（1）由
1-x≥0
x+3≥0
得
x≤1
x≥-3
，…（2分）
故定義域?yàn)閇-3，1]…（3分）
由y=f(x)=
1-x
+
x+3
得：
y2=4+2
-x2-2x+3
=4+2
-(x+1)2+4
∈[4，8]
從而y∈[2，2
2
]，…（7分）
故值域?yàn)?span id="eo2ryyi" class="MathJye">[2，2
2
]…（8分）
（2）令f（x）=t，t∈[2，2
2
]
下證明：函數(shù)y=g(t)=t+
1
t
正區(qū)間[2，2
2
]上單調(diào)遞增
y'=1-
1
t2

當(dāng)t∈[2，2
2
]時(shí)，y′＞0
∴函數(shù)y=g(t)=t+
1
t
正區(qū)間[2，2
2
]上單調(diào)遞增
從而F(x)min=g(2)=
5
2
…（14分）
F(x)max=g(2
2
)=
9
2
4
…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)定義域和值域，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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x
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x
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（1）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(
(a+1)x-1x+1
)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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