Question

（類型A）已知函數(shù)f（x）=，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f^′（x），對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，證明：
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，
（2）當(dāng)a≤4時(shí)，|f^′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（類型B）某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元．如果團(tuán)體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費(fèi)降低5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過180人．如何組團(tuán)，可使旅行社的收費(fèi)最多？

Answer 1

解：（類型A）證明：（1）由
得 =
而 ①
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂
∴②
∵
∴
∵a≤0
∴③
由①、②、③得
即 ．
（2）：由 ，得
∴=
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，有 恒成立
即證 成立
∵
設(shè) ，
則 ，
令u′（x）=0得 ，列表如下：

∴
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|＞|x₁-x₂|．
（類型B）設(shè)有x人參加旅行團(tuán)，收費(fèi)共y元，則有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x²+1500x=-5（x-150）²+112500．
所以當(dāng)x=150人時(shí)，旅行團(tuán)的收費(fèi)最多為112500元．
分析：（類型A）（1）將x₁，x₂代入整理，整理出關(guān)于x₁，x₂的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式使用條件，再由基本不等式可證．
（2）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，將x₁，x₂代入整理變形，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，有 恒成立，從而得證．
（類型B）設(shè)有x人參加旅行團(tuán)，收費(fèi)共y元，則有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出對(duì)稱軸得到函數(shù)的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力．