Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，  AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°.E為BB₁的中點，D點在AB上且DE=.

（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；

（Ⅱ）求三棱錐A₁－CDE的體積.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析      （2）三棱錐A₁－CDE的體積為１．                  

【解析】(1)證明線面垂直根據(jù)判斷定理，只需要證明直線垂直這個平面內(nèi)的兩條相交直線即可.本小題可以證明CD⊥AB, CD⊥AA₁即可.

(2)本小題求面積不易直接求，采用整體減去部分的作法求解.本小題可以用求解

(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=，∴BD=== AB，

∴  則D為AB中點,  而AC=BC， ∴CD⊥AB                     

 又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁為直三棱柱, ∴CD⊥AA₁

 又 AA₁∩AB=A 且 AA₁、AB Ì 平面A₁ABB₁

 故 CD⊥平面A₁ABB₁                                                      6分

（2）∵四邊形A₁ABB₁為矩形，∴△A₁AD，△DBE，△EB₁A₁都是直角三角形，

∴ 

    =2×2－××2－××1－×2×1=

∴  V_A1－CDE =V_C－A1DE = ×S_A1DE ×CD= ××=1

∴  三棱錐A₁－CDE的體積為１