已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)定義域每的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立。

 

【答案】

 

. 。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，同可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

（Ⅱ）由于，顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)定義域每的任意不是恒成立的，

當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1），函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時(shí)只要即可，解得，故得實(shí)數(shù)的取值范圍是。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成立，這個(gè)不等式即，當(dāng)時(shí)，可以變換為，

在上面不等式中分別令，

所以 

【解析】略

 

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已知函數(shù)y=sin
1
2
x+
3
cos
1
2
x，求：
（1）函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間．

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已知函數(shù)-3≤log
1
2
x≤-
1
2
，求函數(shù)y=log2
x
2
•log2
x
4
的最大值和最小值．

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x
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9
4
)的值．

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已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，函數(shù)在上都有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

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（本小題滿分分）

已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）在中，，角滿足，求的面積.

 

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