Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是邊長為2的正三角形，且DE=2AB=2，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求面ABC與面EDC所成的二面角的大小（只求其中銳角）；
（3）求BE與平面AFE所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）取CE的中點(diǎn)為M，則FM∥

1

2

DE，并且FM=

1

2

DE，結(jié)合題意可得：AB∥FM，并且AB=FM，即得到ABMF為平行四邊形，所以AF∥BM，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理得到線面平行．
（2）過點(diǎn)C作直線l∥AB，則l∥DE，可得平面ABC∩平面CDE=l，結(jié)合題意可得：l⊥平面ACD，再由二面角的定義可得：∠ACD即為所求二面角的平面角，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)得到答案．
（3）設(shè)B在平面AFE內(nèi)的射影為B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，得到BE與平面AFE所成角即為∠BEB′，再把線面角放入直角三角形中，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出線面角．

解答：解：（1）證明：取CE的中點(diǎn)為M，則FM∥

1

2

DE，并且FM=

1

2

DE，
由題意可得：AB∥

1

2

DE，并且AB=

1

2

DE，
所以AB∥FM，并且AB=FM，
所以ABMF為平行四邊形，
所以AF∥BM，
又因?yàn)锳F?平面BCE，BM?平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
（2）過點(diǎn)C作直線l∥AB，則l∥DE，

所以平面ABC∩平面CDE=l，
因?yàn)锳B⊥平面ACD，
所以l⊥平面ACD，
所以AC⊥l，CD⊥l，
所以∠ACD即為所求二面角的平面角．
又因?yàn)椋�△ACD是邊長為2的正三角形，
所以∠ACD=60°，即面ABC與面EDC所成的二面角的大小為60°．
（3）設(shè)B在平面AFE內(nèi)的射影為B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，
所以BE與平面AFE所成角即為∠BEB′，
因?yàn)锳F⊥CD，AF⊥DE，
所以AF⊥平面CDE，所以AF⊥MN，
又因?yàn)镸N⊥FE，AF∩EF=F，并且AF?平面AEF，EF?平面AEF，
所以MN⊥平面AEF．
因?yàn)锽M∥平面AEF，
所以BB′=MN，
由△CGF∽△EDF可得：CG=

2

5

，所以MN=

1

2

CG=

1

5

，
因?yàn)锽E=

5

，
所以sin∠BEB′=

BB′

BE

=

1

5

，
所以∠BEB′=arcsin

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角與線面角的有關(guān)知識(shí)，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，解決空間角也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角．