Question

附加題（必做題）
如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）設(shè)，異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為，求λ的值；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)，結(jié)合，以及異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為，得到關(guān)于λ的等式，即可求出結(jié)論．
（2）先求兩個(gè)平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）以CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)，
因?yàn)锳C=3，BC=4，AA₁=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁=（0，0，4），
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103104403984530436/SYS201311031044039845304022_DA/5.png">，
所以點(diǎn)D（-3λ+3，4λ，0），所以，
因?yàn)楫惷嬷本�AC₁與CD所成角的余弦值為，
所以 ，解得．…（4分）
（2）由（1）得B₁（0，4，4），因?yàn)?nbsp;D是AB的中點(diǎn)，所以，
所以，，平面CBB₁C₁的法向量 =（1，0，0），
設(shè)平面DB₁C的一個(gè)法向量=（x，y，z），
則，的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由得令x=4，則y=-3，z=3，
所以=（4，-3，3），
∴cos＜，＞===．
所以二面角D-B₁C-B的余弦值為．   …（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察利用空間向量求平面間的夾角．解決這類題目的關(guān)鍵在于求兩個(gè)平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式．