Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，設.討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明當.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數(shù)；

當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（2）見解析.

【解析】

試題（1）求導數(shù)，研究導函數(shù)值的正負，確定單調(diào)區(qū)間.

由于，當時，.

所以，討論當，即時，當，即時，即得結論；

（2）構造函數(shù)，由于導數(shù)，通過確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，達到解題目的.

由于，

所以令，再次利用導數(shù)加以研究，

當時， 在上是減函數(shù)，

當時， 在上是增函數(shù)，

又

得到當時,恒有,即,

在上為減函數(shù)，由，得證.

（1），所以． 2分

當時，，故有：

當，即時，，；

當，即時，，

令，得；令，得， 5分

綜上，當時，在上是增函數(shù)；

當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 6分

（2）設，則，

令，則， 8分

因為，所以當時，；在上是減函數(shù)，

當時，，在上是增函數(shù)，

又所以當時,恒有,即,

所以在上為減函數(shù)，所以，

即當時，. 13分