Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（n，S_n）在函數(shù)y=2^x-1-2的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和公式；
（III）在第（II）問的條件下，若對于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意可知，．
當(dāng)n≥2時，，
當(dāng)n=1時，也滿足上式，
所以．…（3分）
（II）由（I）可知，即．
當(dāng)k=1時，，…①
當(dāng)k=2時，，所以，…②
當(dāng)k=3時，，…③
當(dāng)k=4時，，所以，…④
…
…
當(dāng)k=n-1時（n為偶數(shù)），，所以…n-1
以上n-1個式子相加，得
===，又b₁=0，
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，．
同理，當(dāng)n為奇數(shù)時，
=，
所以，當(dāng)n為奇數(shù)時，．…（6分）
因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
==；
當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=
==．
故數(shù)列{b_n}的前n項和．…（8分）
（III）由（II）可知，
①當(dāng)n為偶數(shù)時，，
所以隨n的增大而減小，
從而，當(dāng)n為偶數(shù)時，的最大值是．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，，
所以隨n的增大而增大，且．
綜上，的最大值是1．
因此，若對于任意的n∈N*，不等式b_n＜λb_n+1恒成立，只需λ＞1，
故實數(shù)λ的取值范圍是（1，+∞）．…（13分）
分析：（I）由題意可知，分當(dāng)n=1，和n≥2兩種情況，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）可得，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，由累加的方法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得答案；
（III）由（II）可知，分當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時，考慮數(shù)列的單調(diào)性，可得的最大值是1，進(jìn)而可得結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列等比數(shù)列，以及分類討論的思想，屬中檔題．