Question

18．已知O、A、B是不共線的三個定點，D是平面OAB內(nèi)一點，且$\overrightarrow{OD}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則下列命題正確的是①②④（寫出所有正確命題的序號）．
①若x+y=1，則點D在直線AB上；
②若x+y=k（k為常數(shù)，且k≠1），則點D在平行于直線AB的直線上；
③若直線OD與直線AB交于不同于A、B的點P，則$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{PB}$；
④若x＞0，y＞0，S_△OAD、S_△OBD分別表示△OAD、△OBD的面積，則S_△OAD：S_△OBD=y：x；
⑤若$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且x²+y²=1，則點D在一圓上或橢圓上．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的減法的幾何意義，共線向量基本定理，向量加法的平行四邊形法則，以及三角形的面積公式，數(shù)乘的幾何意義即可判斷每個命題的正誤，從而寫出正確命題的序號．

解答 解：①若x+y=1，則x=1-y；
∴$\overrightarrow{OD}=（1-y）\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=y（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=y\overrightarrow{AB}$；
∴A，B，D三點共線；
即D在直線AB上；
∴該命題正確；
②如圖，
x+y=k，∴x=k-y；
∴$\overrightarrow{OD}=（k-y）\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OD}-k\overrightarrow{OA}=y\overrightarrow{OB}$；
設(shè)E為向量k$\overrightarrow{OA}$的終點，k≠1，∴E不同于A；
則D在直線DE上，且DE∥AB；
∴該命題正確；
③若取x=y=1，便有$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，如圖：

顯然P為線段AB中點，所以$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$；
∴該命題錯誤；
④如圖，設(shè)$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=y\overrightarrow{OB}$，過D作MN∥EF，分別交OA，OB于E，F(xiàn)，則D為MN的中點，所以S_△OMD=S_△OND；

若設(shè)D到OM的距離為h₁，D到ON的距離為h₂，則：
$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OM}|{•h}_{1}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{ON}|•{h}_{2}$，$|\overrightarrow{OM}|=2|\overrightarrow{OE}|=2x|\overrightarrow{OA}|$，$|\overrightarrow{ON}|=2|\overrightarrow{OF}|=2y|\overrightarrow{OB}|$；
∴$\frac{1}{2}x|\overrightarrow{OA}|{h}_{1}=\frac{1}{2}y|\overrightarrow{OB}|{h}_{2}$；
∴$\frac{{S}_{△OAD}}{{S}_{△OBD}}=\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|{h}_{1}}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OB}|{h}_{2}}=\frac{y}{x}$；
即S_△OAD：S_△OBD=y：x；
所以該命題正確；
⑤由②知點D在平行于AB的直線上；
∴該命題錯誤；
∴命題正確的是：①②④．
故答案為：①②④．

點評 考查向量減法的幾何意義，共線向量基本定理，以及向量加法的平行四邊形法則，三角形的面積公式．