Question

橢圓

x2

m2

+y2=1（m＞1）與雙曲線

x2

n2

-y2=1（n＞0）有公共焦點F₁，F(xiàn)₂．P是兩曲線的交點，則S△F1PF2=（　�。�

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設中的條件，設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2m，雙曲線的實軸長為2n，由它們有相同的焦點，得到m²-n²=2，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2m，|PF₁|-|PF₂|=2n，△PF₁F₂ 中，由三邊的關系得出其為直角三角形，由△PF₁F₂的面積公式即可運算得到結果．

解答： 解：由題意設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2m，雙曲線的實軸長為2n，
由它們有相同的焦點，得到m²-1=n²+1，即m²-n²=2．
不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2n，①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2m，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2n²+2m²，
∴|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=2，
∴cos∠F₁PF₂|=

2n2+2m2-4(m2-1)

2×2

=0，
∴△F₁PF₂的形狀是直角三角形
△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

×2=1．
故選C．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來．