Question

已知E（2，2）是拋物線C：y²=2px上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E），直線EA，EB分別交直線-2于點(diǎn)M，N．
（1）求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知O為原點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）將E（2，2）代入y²=2px，可得拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，計(jì)算

OM

•

ON

=0，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：將E（2，2）代入y²=2px，得p=1
所以拋物線方程為y²=2x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

2

，0)
（2）證明：設(shè)A(

y12

2

，y1)，B(

y22

2

，y2)，M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
設(shè)直線l方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立，消去x，得：y²-2my-4=0
則由韋達(dá)定理得：y₁y₂=-4，y₁+y₂=2m
直線AE的方程為：y-2=

y1-2

y12 2 -2

(x-2)，即y=

2

y1+2

(x-2)+2，
令x=-2，得yM=

2y1-4

y1+2

同理可得：yN=

2y2-4

y2+2

∴

OM

•

ON

=4+y_My_N=4+

4(y1-2)(y2-2)

(y1+2)(y2+2)

=4+

4(-4-2m+4)

4(-4+2m+4)

=0
∴OM⊥ON，即∠MON為定值

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．