Question

已知點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），又P（x，y）是曲線上的點(diǎn)，則

1. A.
   |PF₁|+|PF₂|=10
2. B.
   |PF₁|+|PF₂|＜10
3. C.
   |PF₁|+|PF₂|≤10
4. D.
   |PF₁|+|PF₂|≥10

Answer 1

D
分析：法一：根據(jù)方程，可以聯(lián)想橢圓，根據(jù)橢圓的定義可知，是以點(diǎn)F₁（-4.0），F(xiàn)₂（4，0）為焦點(diǎn)的橢圓，在橢圓上任意取點(diǎn)，可以證明點(diǎn)在曲線的內(nèi)部或在曲線上，即橢圓上的點(diǎn)在封閉曲線的內(nèi)部或曲線上，故可得結(jié)論．
法二：任取點(diǎn)P（x，y）在曲線上，可令，A∈[0，]，易證得sinA+cosA≥1，即由此知點(diǎn)P（x，y）在上可其外部，再由橢圓的定義易選出正確選項(xiàng)
解答：根據(jù)方程，可以聯(lián)想橢圓，
在橢圓上取點(diǎn)Q（5cosα，3sinα），即x=5cosα，y=3sinα
則=2
∵0≤sin²α≤1，
∴
即點(diǎn)Q在曲線的內(nèi)部或在曲線上
所以橢圓上的點(diǎn)在封閉曲線的內(nèi)部或曲線上
由題意，是以點(diǎn)F₁（-4.0），F(xiàn)₂（4，0）為焦點(diǎn)的橢圓
∴當(dāng)P點(diǎn)恰好取在頂點(diǎn)上時，此時點(diǎn)P在橢圓上，故有|PF₁|+|PF₂|=10
點(diǎn)P不在曲線的頂點(diǎn)上時，必有點(diǎn)P在橢圓的外部，故|PF₁|+|PF₂|＞10
綜上所述，|PF₁|+|PF₂|≥10
故選D．
法二：任取點(diǎn)P（x，y）在曲線上，可令，A∈[0，]
則有sinA+cosA≥1，即由此知點(diǎn)P（x，y）在上可其外部，故有|PF₁|+|PF₂|≥10
故選D
點(diǎn)評：本題以曲線為載體，考查類比思想，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力．