解答題：

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c均為實數(shù)),滿足a－b＋c＝0，對于任意實數(shù)x都有f(x)－x≥0，并且當x∈(0，2)時,有f(x)≤．

(1)

求f(1)的值；

(2)

證明：ac≥；

(3)

當x∈[－2，2]且a＋c取得最小值時，函數(shù)F(x)＝f(x)－mx(m為實數(shù))是單調的，求證：m≤－或m≥

答案：
解析：

(1)

解：∵對于任意x∈R，都有f(x)－x≥0,且當x∈(0,2)時,

有f(x)≤．令x＝1

∴1≤f(1)≤．

即f(1)＝1．…………5分

(2)

解：由a－b＋c＝0及f(1)＝1．

有,可得b＝a＋c＝．…………7分

又對任意x,f(x)－x≥0,即ax2－x＋c≥0．

∴a＞0且△≤0．

即－4ac≤0,解得ac≥．…………9分

(3)

解：由(Ⅱ)可知a＞0,c＞0．

a＋c≥2≥2·＝．…………10分

當且僅當時等號成立．此時

a＝c＝．…………11分

∴f(x)＝x2＋x＋,

F(x)＝f(x)－mx＝[x2＋(2－4m)x＋1]．…………12分

當x∈[－2,2]時，f(x)是單調的，所以F(x)的頂點一定在[－2，2]的外邊．

∴≥2．…………13分

解得m≤－或m≥．…………14分


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：如果對任意x1、x2∈R，都有f()≤[f(x1)＋f(x2)]則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù)．

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x(a∈R，a≠0)

(Ⅰ)求證：當a＞0時，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)．

(Ⅱ)如果x∈[0，1]時，|f(x)|≤1，試求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東實驗中學華南師附中廣州市第六中學2007屆高三級月考試卷(一)、數(shù)學(理工類)、(集合與邏輯、函數(shù)、導數(shù)? 題型：044

解答題：解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c

(1)

若任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f(x1)≠f(x2)，求證：關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根且必有一個根屬于；

(2)

若關于x的方程在的根為m，且成等差數(shù)列，設函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝x0，求證：x0＜m2．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同點的公共點，若f(c)＝0，且0＜x＜c時，f(x)＞0．

(Ⅰ)試比較與c的大��；

(Ⅱ)證明：－2＜b＜－1；

(Ⅲ)當c＞1，t＞0時，求證：＋＋＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源：安徽省示范高中銅陵三中2006－2007學年度高三數(shù)學理科第一次診斷性考試卷 新課標 人教版 人教版新課標 題型：044

解答題

已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1，3)．

(1)

若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實數(shù)根，求f(x)的解析式；

(2)

若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

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