已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f（1）=，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），則f（i）=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
【答案】分析：令x=1，y=0，可求得f（0）；再令y=1，可得f（x+1）=f（x）-f（x-1），f（x+2）=-f（x-1），從而可得函數(shù)f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，分別求得f（i）（i=2，3，4，5，6）的值，利用其周期性即可求得f（i）．
解答：解：令x=1，y=0，則2f（1）f（0）=f（1+0）+f（1-0）=2f（1），
所以f（0）=1．
令y=1，得f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1），
由此得f（x+2）=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
以x+1代替x，得f（x+3）=-f（x），由此可得f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
即函數(shù)f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），
得f（2）=f（1）-f（0）=-，
f（3）=f（2）-f（1）=--=-1，
f（4）=f（3）-f（2）=-1+=-，
f（5）=f（4）-f（3）=-+1=，
f（6）=f（5）-f（4）=-（-）=1，
即一個(gè)周期內(nèi)的整點(diǎn)函數(shù)值是，-，-1，-，，1，其和為0，
又2010=6×335，
故f（i）=f（0）+f（i）=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，突出考查賦值法的應(yīng)用，求得函數(shù)f（x）是以6為周期的周期函數(shù)是關(guān)鍵，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時(shí)，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x） 滿(mǎn)足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線(xiàn)與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=f（x-1）；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=2x，則f（log27）=（　�。�

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