Question

下列命顆中：
①向量

a

與向量

b

共線?存在唯一實數(shù)λ，使

b

=λ

a

；
②若

a

≠

0

且λ

a

=

b

，則λ=

b

a

；
③若

OP

=λ

OA

+μ

OB

，則P，A，B三點共線?λ+μ=1．
其中不正確的有（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：命題①想考查共線向量基本定理，前提是

a

為非零向量；向量不同于實數(shù)，不能進行一般的乘除運算，則命題②可得到判斷；命題③成立的前提是向量

OA

與

OB

不共線．

解答：解：命題①不正確．若

a

=

0

，因為零向量與任意向量共線，所以，對于任意實數(shù)λ，都有

b

=λ

a

；
命題②不正確．若

a

≠

0

且λ

a

=

b

，說明向量

b

與非零向量

a

共線，因為向量沒有定義除法運算，只有定義了向量的
數(shù)量積與外積，所以，λ

a

=

b

也就不能寫成λ=

b

a

；
命題③不正確．若

OA

與

OB

不共線，由P，A，B三點共線，則

AP

=t

AB

(t∈R)，

OP

-

OA

=t(

OB

-

OA

)，

OP

=(1-t)

OA

+t

OB

，令1-t=λ，t=μ，所以λ+μ=1．
若

OA

與

OB

共線，以

OA

，

OB

均為非零向量為例，若P，A，B三點共線，則

OA

=k

OB

，
則

OP

=λ

OA

+μ

OB

=(kλ+μ)

OB

，其中kλ+μ可為任意非0實數(shù)，所以λ+μ不一定等于1．
所以，不正確的命題有3個．
故選D．

點評：本題考查了命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查了共線向量基本定理及其應(yīng)用，考查了平面向量的基本運算，解答此題的關(guān)鍵是對定義和定理的理解與掌握，此題是基礎(chǔ)題，但是容易出錯．