Question

義域分別是D_f，Dg的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=

f(x)•g(x)     (x∈Df且x∈Dg) f(x)     (x∈Df且x∉Dg) g(x)   (x∉Df且x∈Dg)

，
若函數(shù)f（x）=-2x+3，x≥1；g（x）=x-2，X∈R．則函數(shù)h（x）的解析式為

h(x)=

-2x2+7x-6  (x≥1) x-2                 (x＜1)

，函數(shù)h（x）的最大值為

1

8

．

Answer 1

分析：由于函數(shù)f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，對(duì)x進(jìn)行分類討論：當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）=f（x）g（x）；當(dāng)x＜1時(shí)，h（x）=g（x）=x-2．從而得出h（x）的解析式；
分段函數(shù)的值域分段求，所以分別求出x≥1和x＜1時(shí)的值域，最后取并集即得函數(shù)h（x）的值域，則最大值可求．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，根據(jù)題意得：
當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x²+7x-6；
當(dāng)x＜1時(shí)，h（x）=g（x）=x-2．
所以h(x)=

-2x2+7x-6  (x≥1) x-2                 (x＜1)

．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）=-2x²+7x-6=--(x-

7

4

)2+

1

8

，因此，當(dāng)x=

7

4

時(shí)，h（x）最大，h（x）的最大值為

1

8

．
若x＜1時(shí)，h（x）=x-2＜1-2=-1．
∴函數(shù)h（x）的最大值為 

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的值域、函數(shù)解析式的求解及常用方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．