Question

下面有3個(gè)命題，①三棱錐的四個(gè)面的面積分別為S₁ S₂S₃S₄，則S_l+S₂+S₃＞S₄，②任意四面體均有外接球，③過(guò)兩異面直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與兩異面直線相交，其中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0
B．l
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：①作出一個(gè)三棱錐，不妨證明三個(gè)側(cè)面的面積大于底面的面積，分頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況證明結(jié)論成立；
②從分析四面體的一個(gè)面一定有外接圓入手，找出過(guò)該外接圓圓心的一條垂線，可知該垂線上必有一點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)明任意四面體均有外接球
③通過(guò)作圖能夠直觀的分析得到，如果兩條異面直線外的一點(diǎn)，在過(guò)兩條異面直線中的一條且和另一條平行的平面上，則過(guò)該點(diǎn)不會(huì)有直線同時(shí)和兩條異面直線相交．
解答：解：①如圖，

設(shè)三棱錐P-ABC三個(gè)側(cè)面的面積分別為S_△PAB=S₁，S_△PAC=S₂，S_△PBC=S₃，底面S_△ABC=S₄，
過(guò)頂點(diǎn)P作PO⊥面ABC，垂足為O，當(dāng)O在底面三角形ABC內(nèi)部時(shí)，過(guò)O分別作三邊垂線OE，OF，OG，連接PE，PF，PG，
則PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BC，因?yàn)镻E＞OE，PF＞OF，PG＞OG，則S₁＞S_△ABO，S₂＞S_△ACO，S₃＞S_△BCO，
所以，S_l+S₂+S₃＞S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO=S₄
當(dāng)O在底面三角形ABC外部時(shí)，如圖，

過(guò)O分別作三邊及其延長(zhǎng)線的垂線OE，OF，OG，連接PE，PF，PG，則PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BC，因?yàn)镻E＞OE，PF＞OF，
PG＞OG，則S₁＞S_△ABO，S₂＞S_△ACO，S₃＞S_△BCO，而S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO＞S_△ABC=S₄
所以，S_l+S₂+S₃＞S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO＞S₄
綜上，命題①正確．
②四面體的一個(gè)面上的三個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)三角形，此三角形必有一個(gè)外接圓，過(guò)此外接圓的圓心且垂直于三角形所在的平面的直線上任意一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，在這條直線上總能找到一點(diǎn)，使四面體的第四個(gè)點(diǎn)到此點(diǎn)的距離等于此點(diǎn)到其它三點(diǎn)的距離（即球心）．所以，任意四面體均有外接球正確；
③過(guò)兩異面直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與兩異面直線相交，不正確．如：

a和b是兩條異面直線，α為過(guò)a且與b平行的平面，若兩條異面直線外的點(diǎn)O在平面α上，則過(guò)O的直線要么只與a相交，要么只與b相交．
所以，過(guò)兩異面直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與兩異面直線相交錯(cuò)誤．
所以，正確的命題只有①②．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題是命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，對(duì)初學(xué)立體圖形的學(xué)生來(lái)說(shuō)，此題屬于難題．