Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函數(shù)，
（1）求k的值；
（2）在（1）的條件下判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并運(yùn)用單調(diào)性的定義予以證明．

Answer 1

（1）f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）．
由f（-x）=-f（x）?

1+kx

-x-1

=

x-1

1-kx

?1-k²x²=1-x²?k²=1?k=1或k=-1．（2分）
當(dāng)k=1時，f(x)=loga

1-x

x-1

=loga(-1)，這與題設(shè)矛盾，
當(dāng)k=-1時，f(x)=loga

x+1

x-1

為奇函數(shù)，滿足題設(shè)條件．（4分）
（2）在（1）的條件下，f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

=loga

x1x2-x1+x2-1

x1x2-x2+x1-1

，（6分）
∵x₂＞x₁＞1∴x₁x₂-x₁+x₂-1＞x₁x₂-x₂+x₁-1＞0，
即

x1x2-x1+x2-1

x1x2-x2+x1-1

＞1，（7分）
又a＞1，∴f（x₁）-f（x₂）＞log_a1=0
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．（8分）