Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

x-2

（x≠2）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）是否存在定點P（a，b），使得函數(shù)f（x）的圖象關于點P對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用判別式法，設y=

x2

x-2

，則x²-yx+2y=0，則△≥0，求出y的取值范圍即可；
（2）假設存在點P（a，b），使得f（x）的圖象關于點P對稱點，任取點A（x，y）是f（x）圖象上的任意一點，
它關于P點的對稱點A′（2a-x，2b-y）也在函數(shù)圖象上，由此求出a、b的值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2

x-2

（x≠2），
設y=

x2

x-2

，則x²-yx+2y=0，
∴△≥0，即y²-8y≥0；
解得y≥8，或y≤0，
∴f（x）的值域是（-∞，0]∪[8，+∞）；
（2）假設存在點P（a，b），使得f（x）的圖象關于點P對稱點，
即點A（x，y）是f（x）圖象上的任意一點，
則點A′（2a-x，2b-y）也在函數(shù)圖象上，
∴y=

x2

x-2

…①，
2b-y=

(2a-x)2

2a-x-2

…②；
把①代入②得：2b-

x2

x-2

=

(2a-x)2

2a-x-2

，
∴

2bx-4b-x2

x-2

=

4a2-4ax+x2

2a-x-2

；
即（2bx-4b-x²）（2a-x-2）=（4a²-4ax+x²）（x-2），
∴x³+（2-2a-2b）x²+4abx+8b-8ab=x³+（-4a-2）x²+（4a²+8a）x-8a²；
∴

2-2a-2b=-4a-2 4ab=4a2+8a 8b-8ab=-8a2

，
解得a=2，b=4；
∴存在點P（2，4），使得f（x）的圖象關于點P對稱．

點評：本題考查了求函數(shù)的值域的問題，也考查了函數(shù)圖象的對稱性問題，解題時應靈活應用二次函數(shù)的判別式求出值域，結合圖象求出對稱點，是綜合題．