Question

3．若{a_n}為等差數(shù)列，S_n是前n項的和，且S₁₁=$\frac{22}{3}$π，{b_n}為等比數(shù)列，b₅×b₇=$\frac{{π}^{2}}{4}$，則tan（a₆+b₆）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 運用等差數(shù)列的求和公式和等差中項，可得a₆=$\frac{2π}{3}$，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得b₆=±$\frac{π}{2}$，再由特殊角的三角函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答 解：由{a_n}為等差數(shù)列，S₁₁=$\frac{22π}{3}$π，
則$\frac{1}{2}$（a₁+a₁₁）×11=$\frac{22π}{3}$，
即為11a₆=$\frac{22π}{3}$，a₆=$\frac{2π}{3}$，
又{b_n}為等比數(shù)列，b₅•b₇=$\frac{{π}^{2}}{4}$，
即有b₆²=$\frac{{π}^{2}}{4}$，
即b₆=±$\frac{π}{2}$，
則tan（a₆+b₆）=tan（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=tan$\frac{7π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
或tan（a₆+b₆）=tan（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，考查三角函數(shù)的求值，屬于中檔題．