已知函數(shù)f（x）=log2（1-x）-log2（1+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x，請求出一個長度為的區(qū)間（a，b），使x∈（a，b）；如果沒有，請說明理由？（注：區(qū)間（a，b）的長度=b-a）．
【答案】分析：（1）根據對數(shù)的定義可知負數(shù)和0沒有對數(shù)，列出關于x的不等式組，求出解集即可；
（2）要判斷函數(shù)的奇偶性即求出f（-x），判斷f（-x）與f（x）的關系可得；
（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用對數(shù)的運算性質及對數(shù)的定義化簡得到g（x）=0，然后在（-1，1）上取幾個特殊值-，0，-，代入g（x）求出值判斷任意兩個乘積的正負即可知道之間是否有根．
解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則，
∴-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域為（-1，1）
（2）∵f（-x）=log2（1+x）-log2（1-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）由題意知方程f（x）=x+1?log2（1-x）-log2（1+x）=x+1，可化為（x+1）2x+1+x-1=0
設g（x）=（x+1）2x+1+x-1，x∈（-1，1）
則，g（0）=2-1=1＞0，
所以，故方程在上必有根；
又因為，
所以，故方程在上必有一根．
所以滿足題意的一個區(qū)間為．
點評：此題是一道綜合題，要求學生會求對數(shù)函數(shù)的定義域，會判斷函數(shù)的奇偶性，會判斷根的存在性和根的個數(shù)．在做第三問時注意會取特殊值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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