Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且對任意n∈N^*，且a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+2ⁿ=0的兩根．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+2ⁿ=0的兩根．可得a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=2ⁿ，可得

an+2

an

=2．a(chǎn)₂=2．于是數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列；
即a_2n-1=2^n-1，a_2n=2ⁿ．
（2）分奇數(shù)與偶數(shù)討論即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+2ⁿ=0的兩根．
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=2ⁿ，
∴

an+2•an+1

an•an+1

=

2n+1

2n

=2，a₁•a₂=2，
∴

an+2

an

=2．a(chǎn)₂=2．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列；
∴a_2n-1=2^n-1，a_2n=2ⁿ．
∴當(dāng)n為奇數(shù)2k-1（k∈N^*）時，b_n=2^k-1+2^k=3×2^k-1
當(dāng)n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時，b_n=2^k+2^k=2^k+1．
∴b_n=

3×2k-1，n=2k-1 2k+1，n=2k

（k∈N^*）．
（2）當(dāng)n為奇數(shù)2k-1（k∈N^*）時，S_n=3（1+2+…+2^k-1）+（2²+2³+…+2^k-1）
=3×

2k-1

2-1

+

4(2k-2-1)

2-1

=5×2^k-7．
當(dāng)n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時，S_n=5×2^k-7+2^k+1=7×2^k-7．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．