Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對角線AC折起，使BD=3

2

，得到三棱錐B-ACD

（1）若CM=2MB，求證：直線OM與平面ABD不平行；
（2）求二面角A-BD-O的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)N是線段BD上一個動點(diǎn)，試確定N點(diǎn)的位置，使得CN=4

2

，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明M是棱BC的中點(diǎn)時，OM∥平面ABD，而而CM=2MB，∴直線OM與平面ABD不平行；
（2）向量法解決，求出兩半平面的法向量，求其夾角；
（3）因?yàn)镹是線段BD上一個動點(diǎn)，設(shè)N（x₁，y₁，z₁），

BN

=λ

BD

，

CN

=（3

3

，3λ，3-3λ），由CN=4

2

，得

27+9λ2+(3-3λ)2

=4

2

，即9λ²-9λ+2=0，解得λ=

1

3

或λ=

2

3

，

解答： （1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，
若M是棱BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線，OM∥AB，
因?yàn)镺M?平面ABD，AB?平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD．
而CM=2MB，
∴直線OM與平面ABD不平行；
（2）解：由題意，OB=OD=3，
因?yàn)锽D=3

2

，所以∠BOD=90°，OB⊥OD，
又因?yàn)榱庑蜛BCD，所以O(shè)B⊥AC，OD⊥AC，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，
A（3

3

，0，0），D（0，3，0），B（0，0，3），
所以

AB

=（-3

3

，0，3），

AD

=（-3

3

，3，0），
設(shè)平面ABD的法向量為

n

=（x，y，z），
則有

AB • n =0 AD • n =0

即：

-3 3 x+3z=0 -3 3 x+3y=0

，
令x=1，則y=

3

，z=

3

，所以

n

=（1，

3

，

3

），
因?yàn)锳C⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，
平面BOD的法向量與AC平行，
所以平面BOD的法向量為

n0

=（1，0，0），
cos＜

n0

，

n

＞=

n0• n

| n0 || n |

=

1

1× 7

=

7

7

，
因?yàn)槎�面角A-BD-O是銳角，
所以二面角A-BD-O的余弦值為

7

7

．
（3）解：因?yàn)镹是線段BD上一個動點(diǎn)，設(shè)N（x₁，y₁，z₁），

BN

=λ

BD

，
則（x₁，y₁，z₁-3）=λ（0，3，-3），
所以x₁=0，y₁=3λ，z₁=3-3λ，
則N（0，3λ，3-3λ），

CN

=（3

3

，3λ，3-3λ），
由CN=4

2

，得

27+9λ2+(3-3λ)2

=4

2

，即9λ²-9λ+2=0，
解得λ=

1

3

或λ=

2

3

，
所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2，1）或（0，1，2）．

點(diǎn)評：本題給出平面折疊問題，求證線面平行、二面角并求空間距離，著重考查了線面平行判定定理、二面角的平面角的求法和空間距離等知識，屬于中檔題．